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柯西不等式成立条件

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  1、二维形式

  (a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2,等号成立条件:ad=bc

  2、三角形式

  √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2],等号成立条件:ad=bc(注:“√”表示平方根)

  3、向量形式

   |α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)(n∈N,n≥2),等号成立条件:β为零向量,或α=λβ(λ∈R)。

  4、一般形式

  (∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2,等号成立条件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或ai、bi均为零。

  柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式,其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用,所以在高等数学提升中与研究中非常重要,是高等数学研究内容之一。


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