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圆的直径式方程

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  圆的直径式方程,若圆直径两端点为A(a,b),B(c,d),则圆方程为(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)=0。

  这可以用向量证明:

  1、假设P(x,y)是圆上一点,那么向量【(x-a),(y-b)】表示A到P的向量,【(x-c),(y-d)】表示B到P的向量。

  2、因为AB是直径,所以对于圆上的任意非A,B点,∠APB=90°

  3、所以有两向量内积为0,即(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)=0

  4、当P为A或B点时,有两向量之一为0向量,因为0向量与任意向量垂直,所以上式仍成立,所以所有的圆上的点都在(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)=0内。

  5、又因为由平面几何知识知道所有满足向量【(x-a),(y-b)】垂直向量【(x-c),(y-d)】的点都在圆上,所以(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)=0就是该圆的方程。


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