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一阶微分方程有哪些解法

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  一阶线性微分方程解法:

  dy/dx+P(x)y=Q(x),先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0,解得y=Ce-∫P(x)dx,再令y=ue-∫P(x)dx代入原方程,解得u=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C,所以y=e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C],即y=Ce-∫P(x)dx+e-∫P(x)dx,∫Q(x)e∫P(x)dxdx为一阶线性微分方程的通解。

  齐次方程解法:

  dy/dx=φ(y/x),令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/[φ(u)-u]=dx/x,两端积分,得∫du/[φ(u)-u]=∫dx/x,最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解。


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