高一数学集合知识点总结

　　一.知识归纳：

　　1.集合的有关概念。

　　1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

　　注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

　　②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

　　③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

　　2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

　　3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

　　4)常用数集：n，z，q，r，n*

　　2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

　　1)子集：若对x∈a都有x∈b，则a b(或a b);

　　2)真子集：a b且存在x0∈b但x0 a;记为a b(或 ，且 )

　　3)交集：a∩b={x| x∈a且x∈b}

　　4)并集：a∪b={x| x∈a或x∈b}

　　5)补集：cua={x| x a但x∈u}

　　注意：①? a，若a≠?，则? a ;

　　②若 ， ，则 ;

　　③若 且 ，则a=b(等集)

　　3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。

　　4.有关子集的几个等价关系

　　①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;

　　④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。

　　5.交、并集运算的性质

　　①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a;

　　③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub;

　　6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

　　二.例题讲解：

　　【例1】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z}，则m,n,p满足关系

　　a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

　　分析一：从判断元素的共性与区别入手。

　　解答一：对于集合m：{x|x= ,m∈z};对于集合n：{x|x= ,n∈z}

　　对于集合p：{x|x= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以m n=p，故选b。

　　分析二：简单列举集合中的元素。

　　解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

　　= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，

　　= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以选b。

　　点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　变式：设集合 ， ，则( b )

　　a.m=n b.m n c.n m d.

　　解：

　　当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b

　　【例2】定义集合a*b={x|x∈a且x b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，则a*b的子集个数为

　　a)1 b)2 c)3 d)4

　　分析：确定集合a*b子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

　　解答：∵a*b={x|x∈a且x b}， ∴a*b={1,7}，有两个元素，故a*b的子集共有22个。选d。

　　变式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，则6?a∈m，那么集合m的个数为

　　a)5个 b)6个 c)7个 d)8个

　　变式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.

　　解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

　　集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　评析 本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .

　　【例3】已知集合a={x|x2+px+q=0},b={x|x2?4x+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

　　解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.

　　∴b={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a

　　∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

　　∴ ∴

　　变式：已知集合a={x|x2+bx+c=0},b={x|x2+mx+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求实数b,c,m的值.

　　解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5

　　∴b={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴

　　又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

　　∴b=-4,c=4,m=-5

　　【例4】已知集合a={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合b满足：a∪b={x|x>-2}，且a∩b={x|1

　　分析：先化简集合a，然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b，哪些元素不属于b。

　　解答：a={x|-21}。由a∩b={x|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。

　　综合以上各式有b={x|-1≤x≤5}

　　变式1：若a={x|x3+2x2-8x>0}，b={x|x2+ax+b≤0},已知a∪b={x|x>-4}，a∩b=φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

　　点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

　　变式2：设m={x|x2-2x-3=0},n={x|ax-1=0}，若m∩n=n，求所有满足条件的a的集合。

　　解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m

　　①当 时，ax-1=0无解，∴a=0 ②

　　综①②得：所求集合为{-1，0， }

　　【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为q，若p∩q≠φ，求实数a的取值范围。

　　分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用参数分离求解。

　　解答：(1)若 ， 在 内有有解

　　令 当 时，

　　所以a>-4,所以a的取值范围是

　　变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。

　　解答：

　　点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

　　三.随堂演练

　　选择题

　　1. 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}

　　⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数

　　(a)4 (b)5 (c)6 (d)7

　　2.集合{1，2，3}的真子集共有

　　(a)5个 (b)6个 (c)7个 (d)8个

　　3.集合a={x } b={ } c={ }又 则有

　　(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一个

　　4.设a、b是全集u的两个子集，且a b，则下列式子成立的是

　　(a)cua cub (b)cua cub=u

　　(c)a cub= (d)cua b=

　　5.已知集合a={ }， b={ }则a =

　　(a)r (b){ }

　　(c){ } (d){ }

　　6.下列语句：(1)0与{0}表示同一个集合; (2)由1，2，3组成的集合可表示为

　　{1，2，3}或{3，2，1}; (3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1，1，2}; (4)集合{ }是有限集，正确的是

　　(a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3)

　　(c)只有(2) (d)以上语句都不对

　　7.设s、t是两个非空集合，且s t，t s，令x=s 那么s∪x=

　　(a)x (b)t (c)φ (d)s

　　8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式 ，则不等式ax2+bx+c 0的解集为

　　(a)r (b) (c){ } (d){ }

　　填空题

　　9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为

　　10.若a={1,4,x},b={1,x2}且a b=b，则x=

　　11.若a={x } b={x },全集u=r，则a =

　　12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是

　　13设集合a={ },b={x },且a b，则实数k的取值范围是。

　　14.设全集u={x 为小于20的非负奇数}，若a (cub)={3，7，15}，(cua) b={13，17，19}，又(cua) (cub)= ，则a b=

　　解答题

　　15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3}，求实数a。

　　16(12分)设a= ， b= ，

　　其中x r,如果a b=b，求实数a的取值范围。

　　四.习题答案

　　选择题

　　1 2 3 4 5 6 7 8

　　c c b c b c d d

　　填空题

　　9.{(x,y) } 10.0, 11.{x ,或x 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}

　　解答题

　　15.a=-1

　　16.提示：a={0，-4}，又a b=b，所以b a

　　(ⅰ)b= 时， 4(a+1)2-4(a2-1)<0，得a<-1

　　(ⅱ)b={0}或b={-4}时， 0 得a=-1

　　(ⅲ)b={0，-4}， 解得a=1

　　综上所述实数a=1 或a -1

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